在求二元（或多元）代数式最值或者二元（或多元）不等式的证明的题目中，巧用柯西不等式会比较方便快捷。 二维形式： 对于任意实数 a、b、c、d ，则. \color {Red} { (a^ {2}+b^ {2}) (c^ {2 }+d^ {2})\geq (ac+bd)^ {2}}\\ 当且仅当 ad=bc 时成立。 拓展形式：

We know that a + b + c = 2s, ab + bc + ca = s2 + r2 + 4rR, where s is semiperimeter, r is inradius and R is circumradius; see e.g., Manfrino, Ortega, Delgado - Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach, Section 2.5.

2019年5月24日 · 给定两个向量x，y ∈ Rn，那么xT y的值，我们称之为向量的 内积 或 点积。 它 是一个由下式得到的实数： 可以发现，内积实际上是矩阵乘法的一个特例。 通常情况下xT y = yT x。 对于向量x ∈ Rm， y ∈ Rn（大小不必相同），xyT ∈ Rm×n称为向量的 外积。 外积是一个矩阵，其中中的每个元素，都可以由 得到，也就是说， 我们举个例子说明外积有什么用。 令 1 ∈ R n 表示所有元素都是1的n维向量，然后将矩阵 A ∈ R m × n 的每一列都用列向量 x ∈ R m 表示。 …

2010年6月26日 · 圆心与三角形边的切点的连线垂直于三角形的边，连接圆心与三角形的三个顶点，把三角形的面积分成了三个部分，分别是1/2a*R，1/2b*R，1/2c*R 所以三角形的面积是：1/2a*R+1/2b*R+1/2c*R=1/2（a+b+c）*R

2020年9月22日 · $(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1$ I attempted to solve it by saying that RHS is equal to $(a+b+c+d)^a$ , but then I realized that this doesn't help and it doesn't homogenize the inequality either. Then I tried using AM-GM on LHS and getting something which can be homogenized, however I did not succeed there either.

左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍 （注：这里说项时未包括其符号在内）. 3. 公式中的字母可以表示具体的数（正数 或 负数），也可以表示 单项式 或 多项式 等数学式．. 首平方，尾平方，首尾相乘放中间。 或首平方，尾平方，两数二倍在中央。 也可以是：首平方，尾平方，积的二倍放中央。 同号加、异号减，负号添在异号前。 （可以背下来） 分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小 …

这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式，其中的系数Cnr(r＝0,1,……n)叫做二次项系数，式中的Cnran-rbr.叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：Tr+1＝Cnraa-rbr.

3;3①由a+2b=3得a3+2b3=1，且a，b∈R+，故1a+2b=(1a+2b)⋅(a3+2b3)，=53+23(ba+ab)=53+23⋅2√ba⋅ab=53+43=3，∴当且仅当ba=ab，即a=b=1时，1a+2b取得最小值，即3．②由a+2b=3，得a=3−2b，故1a2+2b2=1(3−2b)2+2b2，0<b<32，令f(x)=1(3−2x)2+2x2，0<x<32，f′(x)=b(x−1)(3−2x)⋅x，0<x⩽1时，f′(x)⩽0，∴f(x)单调递 …

2020年9月17日 · 供参考：（1）a,b,c∈R+ ，4=a^2+b^2+c^2+abc≥4（a^3b^3c^3）^（1/4），即abc≤1； （2）欲证a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc≤4 ，只需证明a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≤3； （3）由a^2+b^2+c^2+abc=4有a^4+b^4+c^4+2（a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2）=（4-abc）^2，

该文运用二次和四次丢番图方程的性质并结合Strmer定理，证明了：若a为正偶数，b，t，r为正整数，t≥r，则不定方程x2=22b+2a2t－2b+2at+r+1的正整数解由t=r=1以及x+a2b+2（2b－1）=（2b+1－1+2b+2（2b－1））n给出，其中n是正偶数。