二项式分布和 beta 分布之间的区别在于，前者对成功次数 (x)进行建模，而后者对成功概率 (p)进行建模。 换句话说，概率是二项式的一个参数；在Beta中，概率是一个随机变量。 从二项式分布联想到，你能想到 \alpha - 1 作为成功的数目和 \beta - 1 作为失败的次数，就像二项式分布中的 n 和 n-x。 x ^ {\alpha-1}*（1-x）^ {\beta-1} \\P_ { (y=x)}= \binom {n} {x} p^x* (1-p)^ {n-x} \\ [!answer] \alpha - 代表成功的次数，类似于二项分布中的 n 项。 \beta - 代表失败的次数，类似于二项分 …

Based on this we can see that f (pjx) has a Beta(x + ; n x + ) distribution. Note that it isn't necessary to nd fX (x) explicitly and we can ignore the normalizing constants of both the Likelihood and Prior.

In probability theory and statistics, the beta distribution is a family of continuous probability distributions defined on the interval [0, 1] or (0, 1) in terms of two positive parameters, denoted by alpha (α) and beta (β), that appear as exponents of the variable and its complement to 1, respectively, and control the shape of the distribution.

We thus arrive at the so-called normal equations: \[X^\top X\hat\beta = X^\top Y.\] If the design matrix \(X^\top X\) is nonsingular, the formal solution is \[\hat\beta = (X^\top X)^{-1}X^\top Y.\] The following lemma gives a criterion for the existence and uniqueness of solutions of …

Note f(π) has the usual properties of a pdf: It is non-negative everywhere, and it integrates to 1 over its support (which is [0,1] in this example). The formula for the pdf of a Beta prior distribution for πis: f(π) = Γ(α+ β) Γ(α)Γ(β) πα−1(1 −π)β−1, 0 ≤π≤1, where α>0 and β>0 are the hyperparameters of this prior model.

在贝叶斯文章的前言中，明确提出了该文要讨论的问题：给定了一个事件在一系列观察中出现的次数和不出现的次数，并给定两个数，要求该事件在一次观察中出现的概率 \theta 落在此两数之间的机遇。 有些隐含的假定没有在这一表述中明确写出来，即要求这一系列观察构成伯努利概型：在各次观察中事件的概率 \theta 保持不变，且各次观察独立。 这样，在 N 次观察中事件出现的次数 X ，服从二项分布 B (N,\theta) . 用当今的数学记号，贝叶斯在文章中的问题可以表述为： 设 X …

Let βa,b(x) := xa−1(1 x)b−1/B(a, b) for 0 − < xx < 1 and 0 for x ≡ − ≤ 0 or x ≥ 1. Then βa,b is a probability density. The probability distribution with this density is called a beta distribution with parameters a, b, or beta(a, b). Its distribution function is then defined as. 0 ≤ x ≤ 1. (4)

设 \textsf {Re} (p)>0,\textsf {Re} (q)>0 ,积分 \int^1_0 x^ {p-1} (1-x)^ {q-1}dx 称为 Beta函数 (Euler第一类积分)。 性质1： \Beta (p,q)=\Beta (q,p) (易证，做变换即可)； 性质2：Bate函数可以用 Gamma函数 表示为 \Beta (p,q)=\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)} {\Gamma (p+q)} ；

非中心 Beta 分布（ ncp = \lambda ）定义为（Johnson et al. ，1995 年，第 502 页）为 X/(X+Y) 的分布，其中 X \sim \chi^2_{2a}(\lambda) 和 Y \sim \chi^2_{2b} 。 其中， \chi^2_n(\lambda) 是非中心卡方分布，自由度为 n ，非中心参数为 \lambda ，参见 Chisquare 。

Negative log-likelihood is convex in \ (\beta\)\ (\implies\) easy to add regularization penalties (and solve such problems…) How do we know it’s convex? \ [ -\log L (\eta|Y) = \sum_ {i=1}^n \Lambda_B (\eta_i) -\eta_i Y_i \] with \ (\Lambda_B (\eta)\) the cumulant generating function (CGF) of Bernoulli.