Euler's formula states that, for any real number x, one has where e is the base of the natural logarithm, i is the imaginary unit, and cos and sin are the trigonometric functions cosine and sine respectively. This complex exponential function is sometimes denoted cis x ("cosine plus i sine").

欧拉（Euler）公式： e^{ix}=cosx+isinx ，期中e为 自然对数 的底，i是 虚数单位 。数学家们称为他是上帝创造的公式。

2018年4月13日 · The $\cos$ function is even, so $\cos(-x)=\cos(x)$. Using these and Euler's formula, we can get that $$e^{-ix}=e^{i(-x)}=i\sin(-x)+\cos(-x)=-i\sin(x)+\cos(x)$$ If you are not comfortable with it:

复变函数 中，e^ (ix)= (cos x+isin x)称为欧拉公式，e是 自然对数的底，i是 虚数单位。 拓扑学 中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是 欧拉定理 ，它于1640年由 笛卡尔 首先给出证明，后来 欧拉 于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为笛卡尔定理。 把复指数函数与三角函数联系起来的一个 公式，，e是 自然对数的底，i是 虚数单位。 它将 指数函数 的 定义域 扩大到复数，建立 …

這一複數指數函數有時還寫作 cis x （英語： cosine plus i sine，余弦加 i 乘以正弦）。 由於該公式在 為 複數 時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為歐拉公式 [2]。 歐拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。 物理学家 理查德·费曼 将歐拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式” [3]。 当 时，歐拉公式变为 ，即 歐拉恒等式。 這公式可以說明當 為 實數 時，函數 可在 複數 平面描述一 單位圓。 且 為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角。 先前一個在 …

2016年12月26日 · 所以我们可以将余弦（正弦）函数表达为e的复指数函数，并且可以只取这个 复指数函数 沿实轴（或虚轴）方向的投影，亦即取实部（虚部）操作。 所以，只要系统具有线性，周期性等特点，我们就可以尝试用复数去描述。

因为 e^{ix} = \cos x + i\sin x, 所以 (e^{ix})' = \cos'x + i\sin'x . 但 (e^{ix})' = ie^{ix} , 所以 \cos'x + i\sin' x = -\sin x + i\cos x . 所以, \cos'x = -\sin x 以及 \sin'x = \cos x .

相信大家都很熟悉 欧拉公式 e^ {ix}=cosx+isinx ，以及初步了解了它的基本证明，在这里我将不在赘述 泰勒级数 法 （即将 e^ {ix} 的泰勒级数写出来，然后实数部分结合到一起，虚数部分结合到一起，便会发现俩个部分分别对应cosx以及sinx的泰勒级数）的证明（严格来说，此方法不严谨，对于一个无穷级数不能随意的改变任意几项的和的顺序，当时欧拉时代还不知道这个），以及 解析延拓法 的证明（这在 复变函数 书上均有证明）有另外需要的可以查看其他博主以及查资料等等 …

2025年1月20日 · 欧拉公式是复分析中的一个重要公式， 表达式 如下： e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x e^ {ix} = \cos x + i \sin x eix = cosx+isinx. 其中： e e e 是自然对数的底数（约等于2.718）。 i 2 = − 1 i^2 = -1 i2 = −1。 x x x 是实数。 这些公式将 三角函数 与指数函数建立了紧密的联系，是复数和波动分析中的基础工具。 1. 信号处理与傅里叶变换. 欧拉公式是傅里叶分析的基础，用于将信号从时域转换到频域。 通过欧拉公式，可以将实数信号的三角函数展开转化为复指数形式，简 …

ei = cos + isin Using equations 2 the real and imaginary parts of this formula are cos = 1 2 (ei + e i ) sin = 1 2i (ei e i ) (which, if you are familiar with hyperbolic functions, explains the name of the hyperbolic cosine and sine). In the next section we will see that this is …