2025年3月10日 · OI-wiki 上的 FWT 推导有一点跳步，这里完善了一点步骤，顺便补充了一点内容 卷积问题 的一般形式. 我们来形式化地表述一下卷积问题，即，给定序列 a,b ，求一个序列 c ，满足： c_k = \sum_{i\circ j=k} a_ib_j \\ 其中 \circ 是某种二元运算。

2019年5月4日 · FFT 是一个 线性变换，我们也希望 FWT 变换是线性的。 我们还不知道怎么变换，于是设 c(i,j) 为变换系数，即 A[j] 对 F W T (A)[i] 的贡献系数。 则 F W T (A)[i] = j=0∑n−1 c(i,j)Aj. 根据 F W T (A)⋅F W T (B) = F W T (C) ,得到 : 根据 A∗B = C ,又能得到 : 对比左右两边，得到 c(i,j)c(i,k) = c(i,j ⊕k) ，只需要满足这个就好了。 另外,由于位运算每一位的独立性, c(i,j) 也有一个重要性质: 可以分位考虑。 假设我们已经 (根据真值表)求出满足要求的 c( [0,1],[0,1])，我们能这 …

这种变换就是快速沃尔什变换（FWT），即 F W T (a) = A。 我们称正向（a → A，系数变点值）的过程为 FWT，逆向（A→ a，点值变系数）为 IFWT。 （也有叫 DWT 和 IDWT 的，但惯用 FWT 了，能看懂就行 qwq） 我们设贡献系数 coe(i,j)，意为 Ai = j∑coe(i,j)aj，将其与 ci = j⊕k=i∑ ajbk 、 C i = Ai ⋅ Bi 联立，可以解得：对于 coe(i,j)，我们要求 coe(i,j)coe(i,k)= coe(i,j ⊕k)。 我们只需要构造这个系数即可。 又由于位运算每一位独立，所以可以按位做，也就是我们 coe(i,j) 只 …

沃尔什变换其核心思想是先对序列 a,b 做一遍 正变换，假设对其做正变换后得到的序列为 \mathrm {FWT} (a) 和 \mathrm {FWT} (b) ，然后对两个得到的新序列进行 一定操作 得到 \mathrm {FMT} (c) ，然后对 \mathrm {FWT} (c) 做一遍 逆变换 即可。 上面的 一定操作 一般指 \mathrm {FWT} (a)\cdot \mathrm {FWT} (b)\to \mathrm {FWT} (c) ，这里是点积，即对应点值相乘。 假设我们可以在较小时间复杂度内求出一个数组的正变换/逆变换，那么这个问题就能很快的解决了。 我们 …

2022年7月18日 · 概述 FWT 常用于解决以下式子的 $O(n\log n)$ 求解： $$C[k]=(A*B)[k]=\sum_{i\oplus j=k}A[i]B[j],\text{where }\oplus=\text{and/or/xor}$$ FWT 的思路和 FFT 类似，先将多项式 $A,B$ 转化为一

2022年1月8日 · 发现 \(FWT\) 做的事情就是不断地让箭头的起点加到箭头的终点，按照红绿蓝的顺序一层一层地加，可以有代码： void FWT(ll *A){ for(int i=2;i<=N;i<<=1) //i 线段长度 for(int p=i>>1,j=0;j<N;j+=i)//j 哪一个部分 for(int k=j;k<j+p;++k) //k 嫖取信息 A[k+p]+=A[k]; }

2024年12月19日 · FMT 可以用来解决这类问题，复杂度为 O (N log N) = O (2 n ⋅ n)，和 SOSDP 一样。 下面介绍一下 FMT。 在开始之前，我们先回顾一下 FFT 是怎么做普通卷积的。 对 a, b 分别做 DFT。

2025年2月7日 · FWT 是用来解决 XOR 卷积的工具： 构造是记 f 变换后的序列 f ^ 满足. 然后我们就有. 逆变换后即得 f。 如果我们能在较快的时间内做到变换，那么就可以解决 XOR 卷积的问题。 我们可以平凡地做到 Θ(n⋅ 2n)，从而 XOR 卷积的复杂度与之相同。 以上是一般的介绍 FWT 的文章内都会有的内容。 下面我们从另一种角度来理解（和证明）这么做是对的。 我们将长度为 2n 的序列视为一个 n 元，每元的指数都 ∈ {0,1} 的多项式的系数。 例如， f = [1,1,4,5]，那么对应 …

FWT 快速沃尔什变换，简写FWT，变换肯定会想到FFT，和其相似，FWT同样是用于求解某些特定的卷积的。 FFT求解的问题一般可以化成如下形式 Ck=Σi+j=kAi∗BjC_k=\Sigma_{i+j=k}A_i*B_jCk =Σi+j=k Ai ∗Bj 但是会发现，如果求解的CkC_kCk 中kkk的条件变成i∣j=ki|j=ki∣j=k , i&ji \And ji&j ...

2018年12月16日 · FWT：用于优化逻辑卷积运算。 长度 len = 2^n 为数组A和B。 定义A0为这个A数组的前2^ (n-1) (0 ~ 2^ (n-1) )项，A1为这个数组的后2^ (n-1) (2^ (n-1) +1 ~ 2^n )项，那么有A= (A0,A1).数组B同理. 给出A，B，求出C= A@B。 然后是一大堆结论证明，见上面两位博主的文章吧。 我只放我的 模板 和题目总结。 QAQ。 模板： ll res=1; while(b>0){ if(b&1) res=res*a%mod; .