2025年3月10日 · OI-wiki 上的 FWT 推导有一点跳步，这里完善了一点步骤，顺便补充了一点内容 卷积问题 的一般形式. 我们来形式化地表述一下卷积问题，即，给定序列 a,b ，求一个序列 c ，满足： c_k = \sum_{i\circ j=k} a_ib_j \\ 其中 \circ 是某种二元运算。

在算法竞赛中，FWT 是用于解决对下标进行位运算卷积问题的方法。 公式： （其中 是二元位运算中的某一种） 下面我们举 （按位或）、 （按位与）和 （按位异或）为例。 如果有 ，那么 的二进制位为 的位置和 的二进制位为 的位置肯定是 的二进制位为 的位置的子集。 现在要得到 ，我们就要构造这个 FWT 的规则。 我们按照定义，显然可以构造 ，来表示 满足二进制中 为 的子集。 那么有： 那么我们接下来看 怎么求。 首先肯定不能枚举了，复杂度为 。 既然不能整体枚举，我 …

2022年1月27日 · A time-varying pulse signal of a sonar device is analyzed in the range 0–60 kHz using the DWT and the CWT. The DWT uses a coarse time–frequency discretization to favor speed.

2020年4月27日 · 拓展 K - FWT. 实际上学习了这个拓展能让你更好地理解 \(\text{FWT}\) 不妨考虑 \(n\) 个维度的情况，每个维度是一个 \(0,1,\cdots k-1\) 中的数. 由于 \(k\) 进制下不好用集合描述，因此考虑用一个向量 \(\vec{V}=\lbrace V_0,V_1,\cdots,V_{n-1}\rbrace,V_i\in[0,k-1]\) 表示

2018年5月21日 · 先将多项式求出另外一个多项式 \(fwt(a)\) ，再将对应的位置乘起来，最后再复原？ 也就是 \(fwt(c)=fwt(a)*fwt(b)\) （这个不是卷积，是对应位置相乘）? 废话，显然可以，要不然我还写什么 \(fwt\) 呢？ 我们先来一点奇奇怪怪的记号吧。 因为多项式可以看成一个 \(n ...

沃尔什变换其核心思想是先对序列 a,b 做一遍 正变换，假设对其做正变换后得到的序列为 \mathrm {FWT} (a) 和 \mathrm {FWT} (b) ，然后对两个得到的新序列进行 一定操作 得到 \mathrm {FMT} (c) ，然后对 \mathrm {FWT} (c) 做一遍 逆变换 即可。 上面的 一定操作 一般指 \mathrm {FWT} (a)\cdot \mathrm {FWT} (b)\to \mathrm {FWT} (c) ，这里是点积，即对应点值相乘。 假设我们可以在较小时间复杂度内求出一个数组的正变换/逆变换，那么这个问题就能很快的解决了。 我们 …

定义： F W T ( A ) [ i ] = ∑ j ∣ i A [ j ] FWT (A) [i]=\sum_ {j|i} A [j] FWT(A)[i]=∑j∣iA[j]。 这个是正变换后得到的数组的意义，简单来说，就是下标的子集对应的位置之和，其中 j ∣ i j|i j∣i 表示 j j j 是 i i i 的子集。 那么有一个很显然的性质： 证明： 我们拿每一位单独看： 嗯……很显然可以得到 F W T ( A ) [ i ] + F W T ( B ) [ i ] = F W T ( A + B ) [ i ] FWT (A) [i]+FWT (B) [i]=FWT (A+B) [i] FWT(A)[i]+FWT(B)[i]=FWT(A+B)[i]。

2024年5月7日 · 快速沃尔什变换（FWT）是解决这样一类卷积问题： c_i=\sum_ {i=j\odot k}a_jb_k ci = i=j⊙k∑ ajbk. 其中， \odot ⊙ 是位运算的一种。 举个例子，给定数列 a,b a,b，求： c_i=\sum_ {j\oplus k=i} a_jb_k ci = j⊕k=i∑ ajbk. 看到 FWT 的名字，我们可以联想到之前学过的 FFT（很可惜，我没有写过 FFT 的笔记，所以没有链接），先看看 FFT 的原理： O (n\log n) O(nlogn)。 综上，时间复杂度是 O (n\log n) O(nlogn) 的。

2024年6月20日 · 而类似的，我们将求和符号中的加号换成其余的位运算符号，即得到了 FWT 。FWT 可以在 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn) 的时间内求解：按位或运算 ∪\cup∪，Ck=∑i∪j=kAi×BjC_k=\sum_fwt

FWT (A\otimes B)=FWT (A)\cdot FWT (B)\\ 其中 \cdot 代表对应位置相乘。 类比 FFT，我们希望通过 线性变换 求出 FWT (A) ，于是仿照它的思路，FFT 通过奇偶分组，FWT 则将其按照二进制下最高位进行分组。 若 A 共有 2^n 位，令 \begin {aligned} A_ {0,i}&=A_i\\ A_ {1,i}&=A_ {i+2^ {n-1}} && i<2^ {n-1} \\ \end {aligned}\\ 我们希望 FWT 是个线性变换，那么设 FWT (A)_i=\sum_ {j=0}^ {n-1}c_ {i,j}A_j\\ c_ {i,j} 是 i 变换后对应每一位的系数，这样设相当于向量做线性变换。