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我们发现 \ln (1+x) 分母可以直接用 x 替换，但由于分子中的 \arctan (1+x) 和 \arctan (1-x) 在 x\rightarrow0 时，括号内并不是无穷小量，故不能直接替换。 因此需要对分子进行变型。 接下来便是解此题的技巧所在： 注意（不）到：

While working on some probability question, I had to evaluate $\lim_{x \to \infty} \arctan(x)$. I knew the answer intuitively as $\pi/2$, yet I cannot figure out how to prove it by elementary means (without resorting to $\epsilon-\delta$ arguments). How does one prove it (preferably, without resorting to L'Hopital's rule)?

2019年1月2日 · If you know that $\lim_{x\to+\infty}\arctan x = \pi/2$, then factoring out $x$ in your original limit you would get a $+\infty \cdot 0$. You want to apply L'Hospital's Rule.

2021年11月23日 · arctanx在x趋向于0时它的极限等价于x，于是又由lim x（x→0）等于0所以lim arctan x（x→0）等于0. 下面列举了一些等价无穷小代换的例子请自取

We can make use of L'Hopital's rule. Since $\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{x^2+1}$ and $\frac{d}{dx}x=1$, we have $$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\arctan x}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x^2+1}=1.$$

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lim (x趋于∞)arctanx=π/2，lim (x趋于∞)x=∞， (π/2）/∞=0。 数。 知乎，中文互联网高质量的问答社区和创作者聚集的原创内容平台，于 2011 年 1 月正式上线，以「让人们更好的分享知识、经验和见解，找到自己的解答」为品牌使命。 知乎凭借认真、专业、友善的社区氛围、独特的产品机制以及结构化和易获得的优质内容，聚集了中文互联网科技、商业、影视、时尚、文化等领域最具创造力的人群，已成为综合性、全品类、在诸多领域具有关键影响力的知识分享社区和创作者聚 …

\lim _{x\to 0}(x\ln (x)) \int e^x\cos (x)dx \int_{0}^{\pi}\sin(x)dx \sum_{n=0}^{\infty}\frac{3}{2^n} Show More