在 数学 中， 双曲函数 是一类与常见的 三角函数 （也叫圆函数）类似的函数。 最基本的双曲函数是 雙曲正弦 函数 和 雙曲餘弦 函数 ，从它们可以导出 双曲正切 函数 等，其推导也类似于三角函数的推导。 双曲函数的反函数称为 反双曲函数。 双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做 双曲角。 双曲函数出现于某些重要的线性 微分方程 的解中，譬如說定义 悬链线 和 拉普拉斯方程。 最簡單的幾種雙曲函數為 [1]： {\displaystyle \tanh x= {\frac {\sinh x} {\cosh x}}= {\frac {e^ {x} …

反双曲函数基本公式 \sinh^ {-1} x \pm \sinh^ {-x} y = \sinh^ {-1} \left ( \sinh^ {-1}x \sqrt {1+y^2} \pm y \sqrt {1 +x^2} \right) \\\cosh ^ {-1} x \pm \cosh ^ {-1} y = \cosh^ {-1} \left [ xy \pm \sqrt { (x^2 -1) (y^2 -1) } \right] \\\tanh ^ {-1}x \pm \tanh^ {-1}y = \tanh^ {-1} \frac {x \pm y} {1 \pm xy} \\

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In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola.

双曲正弦函数在数学语言上一般记作sinh，也可简写成sh。 与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正弦函数和双曲余弦函数是双曲函数中最基本的两种，由这两个函数可推导出双曲正切函数等等。

Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个 \sinh 的积时，包括 \coth ^2\left ( x \right) ,\tanh ^2\left ( x \right) ,\mathrm {csch} ^2\left ( x \right) ,\sinh \left ( x \right) \cdot \sinh \left ( y \right) ，则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。

In mathematics, the inverse hyperbolic functions are inverses of the hyperbolic functions, analogous to the inverse circular functions. There are six in common use: inverse hyperbolic sine, inverse hyperbolic cosine, inverse hyperbolic tangent, inverse hyperbolic cosecant, inverse hyperbolic secant, and inverse hyperbolic cotangent.

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\sinh^ {-1}x=\ln (x+\sqrt {x^2+1}),\cosh^ {-1}x=\ln (x+\sqrt {x^2-1}),\tanh^ {-1}x=\frac {1} {2}\ln\frac {1+x} {1-x}\\ \mathrm {csch}^ {-1}x=\ln\left (\frac {1+\sqrt {1+x^2}} {x}\right),\mathrm {sech}^ {-1}x=\ln\left (\frac {1+\sqrt {1-x^2}} {x}\right),\mathrm {coth}^ {-1}x=\frac {1} {2}\ln\frac {x+1} {x-1}\\

\displaystyle \sinh^ {-1} x = \ln (x + \sqrt {x^2 + 1}) sinh−1x = ln(x+ x2 +1) \displaystyle -\infty < x < \infty −∞ <x <∞ \displaystyle \cosh^ {-1} x = \ln (x + \sqrt {x^2 - 1}) cosh−1x = ln(x+ x2 −1) …