在 数论 中，对正 整数 n， 欧拉函数φ (n) 是小于或等于 n 的正整数中与 n 互质 的数的数目。 此 函数 以其首名研究者 欧拉 命名，它又称为 φ函数 （由 高斯 所命名）或是 欧拉总计函数 （totient function，由 西尔维斯特 所命名）。 例如φ (8) = 4，因为1,3,5,7均和8互质。 也可以从 简化剩余系 的角度来解释，简化剩余系 (reduced residue system)也称既约剩余系或缩系，是m的完全剩余系中与m 互素 的数构成的 子集，如果模m的一个剩余类里所有数都与m互素，就把它叫做与模m互 …

In number theory, Euler's totient function counts the positive integers up to a given integer n that are relatively prime to n. It is written using the Greek letter phi as or , and may also be called Euler's phi function.

In particular, is Φ supposed to be a particular set? or is it the emptyset? In MathJax, you can type $\emptyset$ to get $\emptyset$, or $\Phi$ for $\Phi$. $\endgroup$ –

1 天前 · 欧拉函数常常用于化简一列最大公约数的和。 国内有些文章称它为 欧拉反演 1。 其中， 称为 Iverson 括号，只有当命题 为真时 取值为 ，否则取 。 对上式求和，就可以得到. 这里关键的观察是 ，即在 和 之间能够被 整除的 的个数是 。 利用这个式子，就可以遍历约数求和了。 需要多组查询的时候，可以预处理欧拉函数的前缀和，利用数论分块查询。 与欧拉函数紧密相关的一个定理就是欧拉定理。 其描述如下： 若 ，则 。 当然也有扩展欧拉定理，用于处理一般的 和 的情 …

对于质数 p ，它的欧拉函数值 \phi(p)=p-1 证明： 因为 p 为质数，所以比它小的数都和它互质，即在1~p***有p-1个数和它互质。

2021年2月14日 · 欧拉函数定义：对于一个正整数n，n的欧拉函数ϕ (n)\phi (n)ϕ (n)，表示小于等于n与n互质的正整数的个数性质性质1：如果n是质数，那么ϕ (n)=n−1\phi (n)=n-1ϕ (n)=n−1,因为只有n本身与它不互质。 性质2：如果p，q都是质数，那么ϕ (p∗q)=ϕ (p)∗ϕ (q)= (p−1)∗ (q−1)\phi (p*q)=\phi (p)*\phi (q)= (p-1)* (q-1)ϕ (p∗q)=ϕ (p)∗ϕ (q)= (p−1)∗ (q−1).性质2推导:p,2p,3p,...., (q−1)∗p_欧拉函数.

$\phi(n)$ is defined to be the number of positive integers less than or equal to $n$ that are relatively prime to $n$. Proving that for prime $p$, $\phi(p)=p-1$ is trivial, as every positive integer less than a prime is relatively prime to that prime. Further experimentation suggests that it is also true that $\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$.

2022年8月15日 · I came across a question on sets, where the cardinality of the following set has to be found: $$P(P(P(A \times \phi)))$$ Where $|A|=m$. A similar question has already been asked on this platform; however, I could not find a satisfactory answer.

2021年3月13日 · The formula of subsets of any sets is : $2^n$ We have a subset of $\phi$ because $2^0 = 1$ and the subset is $\phi$ itself. Therefore: $p(\phi) = \{{ \phi}\}$ $p(p(\phi) = \{{ \phi, \{\phi\}}\}$ $p...

These are all examples of Euler's Totient Function, which has the symbol φ (the Greek letter Phi) It is that simple, just crossing numbers off a list. But it can take a long time of course, so any timesavers would be handy. Let's discover some! What happens with prime numbers? 5 is prime. It has only one prime factor: itself!