不同于《高等数学》书中的方法，本文通过线性变换的思想来推导一下曲面积分公式。 先明确下问题。 1 曲面面积公式. 对于一个三维的光滑曲面 S，有： \displaystyle\mathop {\iint}_ …

Theorema Egregium: 曲面的 高斯曲率 K 被它的第一类基本量 E,F,G 及其各阶导数唯一决定。 其中法向量 n=\frac1D r_u\times r_v, D=\sqrt {EG-F^2} 。 因此我们只需验证. K=\frac { [r_ …

(a): Check that ds2 = dr2 + r2dθ2 describes the Euclidean metric in R2, and compute that the Gaussian curvature is K ≡ 0. Proof. The Euclidean metric on 2 R is given by the …

曲面 S 上所有过 P_0 点的曲线的切向量构成一个二维线性空间。 我们称这个二维线性空间为曲面 S 在 P_0 点的切平面，记为 T_ {P_0} , 切平面 T_ {P_0} 中的向量称为曲面在 P_0 点的切向 …

而 弧长微元 $ds$ 就是函数 $r (t)$ 的微分 $dr$ 的模，即. 通过对微元的分析，也可以得到弧长公式。 相比于定理，这样的处理简单得多。 用类似的方法，来讨论曲面面积. 注. 当 $L$ 光滑时， …

给出的两种不同的计算方式体现在曲面表达的不同，我们可以用方程 z=g (x,y) 表达曲面，也可以用参数方程表达。 但不管是哪种方式，我们都将对空间曲面的积分转化为对平面区域的二重积 …

ds= [√ {r' (Q)^2+r (Q)^2}]•dQ。 具体的证明见下（先给出曲线的参数方程为x=x (t),y=y (t)的ds的计算公式）： 现在假设曲线的极坐标方程是r=r (Q)，所以对于任意一个极角Q都能算极经r等于r …

2017年6月17日 · 积分符号E。 dS=E*4派r平方 4π*r平方是球面（高斯面）的面积。 因为在高斯面上，电场强度E大小相同，方向都垂直于高斯面，所以，∫Eds=E∫ds=E*4π*r平方 设S内有一点 …

Area of R = dσ = EG − F 2 dudv. Let S ⊂ R3 be a surface and let g(x, y, z) be a function defined on S ⊂ R3, Let v ∈ TP (S), then v is the velocity vector of some curve α on S, i.e. α(0) = P , …

2021年11月14日 · 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f (x，y)×ds。 对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元 …