2016年10月11日 · SU (2)就是复平面上的有序的两个矢量 (即有序复数对)，保持模长平方和不变的变换，要求变换矩阵的行列式为1，于是要求生成元的迹必然为0。 这复平面上的两个矢量，可以看成一个4维实空间中的矢量，投影到两个平面上的投影矢量，每个平面上的投影矢量都对应一个独立的复数，两个投影矢量画在一个复平面上，就是上一段落所述的二维复矢量的来源。 当4维空间中的一个矢量纯转动时，它的两个投影矢量即两个复数将保持模长平方和不变做各种变换。 …

In mathematics, the special unitary group of degree n, denoted SU (n), is the Lie group of n × n unitary matrices with determinant 1. The matrices of the more general unitary group may have complex determinants with absolute value 1, rather than real 1 in the special case. The group operation is matrix multiplication.

特殊酉群 SU (n) 是一个 n2 -1 维实 矩阵李群。 在拓扑上是 紧 及 单连通 的。 在代数上，它是一个 单李群 （意为它的 李代数 是单的，见下）。 SU (n) 的 中心 同构于 循环群 Zn。 当 n ≥ 3，它的 外自同构群 是 Z2，而 SU (2) 的外自同构群是 平凡群。 SU (n) 代数由 n2 个算子生成，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）： 另外，算子. 满足. 这意味着 SU (n) 独立的生成元个数是 n2 -1 [1]。 一般地，SU (n) 的 无穷小生成元 （infinitesimal generator） T，由一个无 迹 埃尔米特 …

这里总结一下如何从 SU (2) 群导出 SO (3) 群。 首先给出群同态的定义：给定两个群 (G, *), (H, \cdot) ，群同态是一个映射 h: (G, *) \rightarrow (H, \cdot) ，使得对于所有属于群 G 的元素 u, v ，都有 h (u*v)= h (u)\cdot h (v) . 可以构造一个从 SU (2) 群到 SO (3) 群的映射使得这个映射是一个同态。 SU (2) 群是一个矩阵群，群元素为 2\times 2 的幺正矩阵，而且矩阵的行列式为1.

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / SU (2) 的全体不可约表示与李群上的积分. 東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 李群对应的李代数与可爱又迷人的伴随表示. 東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 浅谈洛伦兹群 (Lorentz group) 与洛伦兹代数. 東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / マボロシの旋量空间与哈人的 Clifford 代数. 9. 浅谈 \ [\text {SO}\left ( 3 \right)\]

直觉上， SU (2) 和 SO (3) 的关系就像 U (1) 和 SO (2) 一样自然，但遗憾的是，实际上并不是这样的. 我们在二维旋转的情形中，用复数 e^ {i\varphi} 表示了相同的旋转 R_\theta ，并且指出了 \varphi=\theta . 但在三维旋转的情形中，它们就不相等了. 这就是为什么我在前文中强调了 \varphi 和 \theta 是两个不同的参数. 为了说明 SU (2) 和 SO (3) 的关系，我们用一个具体的例子来说明：

实验表明色荷有三种（如 \pi_0\rightarrow\gamma\gamma 衰变实验），所以带色荷的自由夸克具有SU (3)对称性。 同样将这个对称性定域化，就会在拉氏量中引入夸克和矢量场的相互作用项，我们把这个矢量场称为胶子场，把这种相互作用称为强相互作用。 同样，定域化后的拉氏量仍然具有SU (3)对称性，所以强相互作用对应SU (3)群。 U (1), SU (2), SU (3) 在数学角度来看都是李群，从物理角度来看是是对系统施加一种变换，让系统在这种变换下具有某种不变形，U (1) 变换在 …

2021年4月12日 · 这样的 S S 构成 U (2) U (2) 群，因为单位元、封闭性、结合律、逆元都满足。 以 U U 来标记，大概是unitary，即幺正性。 很显然，如果勒令 S S 的元素都是实数，则构成子群 O(2) O (2)， O O 大概是orthogonal的缩写，即正交性。 要使得 SS† =1 S S † = 1，即. SS† =[a c b d][a∗ b∗ c∗ d∗] =1, S S † = [a c b d] [a ∗ b ∗ c ∗ d ∗] = 1, (a,c)⋅(b,d)=ab∗ +cd∗. (1) (1) (a, c) ⋅ …

2022年7月26日 · 规范场论 (Gauge Theory) 是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论.非交换对称群的规范场论有时也称为杨-米尔斯理论.物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述,当变换在每一时空点同时施行,它们有全局对称性.规范场论推广了这一思想,它要求拉格朗日量必须也有局部对称性—应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域.这个要求是广义相对论的等价原理的一个推广. 规范“对称性”反映了系统表述的一 …

因此 SU (2) 和 SO (3) 矩阵的元素之间没有一一对应，而是两个 SU (2) 对应着一个 SO (3) 。 由上节可知复变换群会使 |u|^2+|v|^2 不变， \begin {equation} \begin {aligned} &u^ {\prime}=a_ …