\color {blue} {\textbf {双曲函数的定义}} 1、 双曲正弦. \sinh x = \frac {e^ {x} - e^ {-x}} {2} \\ 2、 双曲余弦. \cosh x = \frac {e^ {x} + e^ {-x}} {2} \\ 3、 双曲正切. \sinh x =\frac {\sinh} {\cosh} = \frac {e^ {x} - e^ {-x}} {e^ {x} + e^ {-x}} \\ 4、 双曲余切. \coth x = \frac {\cosh x} {\sinh x} =\frac {e^ {x} + e^ {-x}} {e^ {x} - e^ {-x}} \\ 5、 双曲正割.

双曲正切函数（hyperbolic tangent function）是双曲函数的一种。双曲正切函数在数学语言上一般写作tanh，也可简写成th。与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正切函数便是其中之一。

In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola.

2023年3月31日 · 在学深度学习，尝试推导了一下tanh的导数，查网上资料，发现了两种答案. 1、tanh(x)' = 1 - tanh(x)^2. 激活函数tanh(x)求导_tanh求导_JasonDecode的博客-CSDN博客. 2、tanh(x)' = sec(x) ^2. 三角函数求导公式 - 必应. 我推导的结果是跟第二种一样的，感觉这两者不等价 …

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2024年6月25日 · 双曲正切函数，记作 $\tanh(x)$，是一个在实数值域内的奇函数，其输出范围介于 -1 和 +1 之间。 这个 函数 的形状类似于字母 "S"，也被称为 Sigmoid 函数 的一种变体。

公式1 \sinh x=\frac {e^x-e^ {-x}} {2},\cosh x=\frac {e^x+e^ {-x}} {2},\tanh x=\frac {e^x-e^ {-x}} {e^x+e^ {-x}}\\ \mathrm {csch}x=\frac {1} {\sinh x},\mathrm {sech}x=\frac {1} {\cosh x},\mathrm {coth}x=\frac {1} {\tanh x}\\ 公式2 \cosh z=\cos iz,i\sinh z=\sin iz.

Hyperbolic Definitions sinh(x) = ( e x - e-x)/2 . csch(x) = 1/sinh(x) = 2/( e x - e-x) . cosh(x) = ( e x + e-x)/2 . sech(x) = 1/cosh(x) = 2/( e x + e-x) . tanh(x ...

2025年3月5日 · Formulas expressing trigonometric functions of an angle 2x in terms of functions of an angle x, sin(2x) = 2sinxcosx (1) cos(2x) = cos^2x-sin^2x (2) = 2cos^2x-1 (3) = 1-2sin^2x (4) tan(2x) = (2tanx)/(1-tan^2x).

$\text{tanh}\ 2x = \frac{2\text{tanh}\ x}{1 + \text{tanh}^2x}$ Half angle formulas $\sinh \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{2}}$ [+ if x > 0, - if x 0]