In mathematics, differential forms provide a unified approach to define integrands over curves, surfaces, solids, and higher-dimensional manifolds. The modern notion of differential forms was pioneered by Élie Cartan. It has many applications, especially in geometry, topology and physics.

2 Differential 2-forms Any function ψ: D× Rm × Rm → R satisfying the above two conditions will be called a differential 2-form on a set D⊆ R m . By contrast, differential

在 线性代数 中， 2-形式 （two-form）是 双线性形式 的另一种叫法，特别是用于非正式讨论中，或者有时暗示这个双线性形式是 斜对称 的。 在 微分几何 中，一个 2-形式 表示 2 阶 微分形式。 换句话说，一个 2-形式是一个秩 2 斜对称共变 张量场。 对一个给定的向量空间，2-形式的空间由基 1-形式 的 楔积 生成。 参见 微分形式。

现在我们来验证一下万有性质，设双线性映射 f:V_1\times V_2\to W 。 对 x\in T_ {V_1,V_2} ，我们可以写作 x=x_ {ij}v_1^i\otimes v_2^j ，其中 \ {v_1^i\} 和 \ {v_2^j\} 分别是 V_1 和 V_2 的一组基。 由此，我们可以定义映射 \widetilde f:T_ {V_1,V_2}\to W,\ x=x_ {ij}v_1^i\otimes v_2^j\mapsto x_ {ij}f (v_1^i,v_2^j). \\ 容易验证 \widetilde f 是良好定义的且 \widetilde f\circ\mu=f 。 2.唯一性。

在 线性代数 中， 2-形式 （two-form）是 双线性形式 的另一种叫法，特别是用于非正式讨论中，或者有时暗示这个双线性形式是 斜对称 的。 在 微分几何 中，一个 2-形式 表示 2 阶 微分形式。 换句话说，一个 2-形式是一个秩 2 斜对称共变 张量场。 对一个给定的向量空间，2-形式的空间由基 1-形式 的 楔积 生成。 参见 微分形式。 本站所录资源收集自互联网,如果对此内容有异议,请联系我们;关于数学知识内容并未经过专业人士校正,请注意内容的准确性. 联系我们. 在线性代数 …

In Lee's Riemannian Manifolds; An introduction to Curvature, he defines a Riemannian metric as an element of $\Gamma(T^2_0M)$, a $(2,0)$-tensor. Is this the same thing as a $2$-form? Is there a difference between being a section of $T^\ast M\times T^\ast …

that are dual to vectors are 1-forms. A 1-form is a linear transfor-mation from the n-dimensio. al vector space V to the real numbers. The 1-forms also form a vector space V ∗ of dimension n, often called the dual sp. ce of the original space V of vectors. If α is a 1. d of this we shall mainly use α · v. . he condition of being linear says that.

Definition 5.18 A two-form is an expressiona(x;y;z)dx ^ dy + b(x;y;z)dy ^ dz + c ( x;y;z ) dz^dx: We will usually assume the coefficients a;b;c are themselves differentiable functions.

外微分算子的引入提供了从数学计算的角度引出梯度、旋度、散度的方法。 当然引入外微分算子并不仅仅是为了这个，事实上它的motivation应该是来源于重积分。 在重积分的变量替换时，会多出一个 雅可比行列式 的绝对值，如果雅可比行列式符号不定，计算可能十分困难。 但是没有理论给出通用的变量替换方法，因此数学家们希望找到一种形式，在尽可能多的微分 同胚映射 下保向。

把U上所有光滑k-form的向量空间记成 \Omega^k(U). 特别的， \Omega^0(U)=C^\infty(U) ，0-form就是函数。 记U上的所有 光滑微分形式 的空间为，