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Pell方程指的是形如 x^ {2}-dy^ {2}=1 的 二元二次不定方程 (这里我们只讨论x,y≥0的情况，因为显见若x,y满足方程则有x,y及其相反数共四种组合也满足方程)，其中d是整数。

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step1:先通过 暴力 找到 最小正整数解，也就是第一组解 (x1,y1)，也有一种快速找最小正整数解的方法，叫做 连分数法，感兴趣的小伙伴自行百度。 代码： y=1; for(y=1;;y++) { . tempc = ceil(sqrt(d*y*y+1)); . tempf = floor(sqrt(d*y*y+1)); if(tempc==tempf) break;//只有整数的ceil和floor相同，也就是向上取整和向下取整 } . x=tempc; return ; } ll tempc,tempf; for(y=1;;y++) { . tempc = ceil(sqrt(d*y*y+1)); .

且 为 正整数，则称此二元二次不定方程为 佩尔方程 （英文：Pell's equation；德文：Pellsche Gleichung），以英國數學家 約翰·佩爾 （英语：John Pell (mathematician)） 命名。 若 是 完全平方数，则这个方程式只有 平凡 解 （实际上对任意的 ， 都是解）。 对于其余情况， 拉格朗日 证明了佩尔方程总有非平凡解。 而這些解可由 的 連分數 求出。 设 是 的连分数表示： 的渐近分数列，由连分数理论知存在 使得 (pi, qi)为佩尔方程的解。 取其中最小的 ，将对应的 (pi, qi)称为佩 …

于是Pell方程的解是存在的，由上述过程中的 (x_1,y_1) 的取法有无穷多种，因此Pell方程的整数解有无穷多个. 为了证明 命题1.3 的第二部分，我们可以取出Pell方程的正整数解集中满足 \alpha=x+y\sqrt {d} 最小的的解 (x,y) .

等无穷个类似的自然数解.形如 x^2-Ny^2=1 的方程就是 Pell方程, 这里的 N 显然只能是非平方数, 否则没有自然数解. 事实上英国数学家John Pell和这个Pell方程没有多大关系, 因为该问题的提出是费马, 问题的解决是 拉格朗日, 命名的错误是 欧拉, 我们对于欧拉的错误 ...

2024年7月17日 · Pell方程 对 \ (D\in N^*\) 且 \ (D\) 不为完全平方数，方程 \ (x^2-Dy^2=1\) 有无穷组解 其中设 \ (x+\sqrt D y\) 最小的一组为 \ ( (x_0,y_0)\) （该解称为基本解），则方程 \ (x^2-Dy^2=1\) 的通解为 \ (x+\sqrt Dy=