Many generalizations of the Riemann zeta function, such as Dirichlet series, Dirichlet L -functions and L -functions, are known. The Riemann zeta function ζ(s) is a function of a complex variable s = σ + it, where σ and t are real numbers. (The notation s, σ, and t is used traditionally in the study of the zeta function, following Riemann.)

The zeta function values listed below include function values at the negative even numbers (s = −2, −4, etc.), for which ζ(s) = 0 and which make up the so-called trivial zeros. The Riemann zeta function article includes a colour plot illustrating how the function varies over a continuous rectangular region of the complex plane.

黎曼ζ函数 ζ（ s ）的定义如下： 设一 复数 s ，其 实数 部分> 1而且： 它亦可以用积分定义： 在区域{ s : Re( s ) > 1}上，此 无穷级数 收敛并为一 全纯函数 （其中Re表示复数的实部，下同）。

之所以有人把Zeta(-1)=-1/12理解成全体自然数的和，我个人认为有以下原因： 1.有人一知半解，把解析延拓后的解析式当成完全等于原定义的值，因此便有-1/12＝Zeta(-1)=∑1/(n^(-1))=∑n这样的谬误

黎曼函数在s > 1的情况. ζ函数满足如下函数方程： = () 对于所有C\{0,1}中的s成立。这裡，Γ表示Γ函数。这个公式原来用来构造解析连续性。

The Riemann zeta function is an extremely important special function of mathematics and physics that arises in definite integration and is intimately related with very deep results surrounding the prime number theorem.

对于实数 s>1 , 黎曼zeta函数 定义为 \zeta (s)=\sum_ {n=1}^\infty\frac {1} {n^s}. 早在几百年前，Euler就已经知道 \zeta (2n)=\frac {B_n} {2 (2n)!} (2\pi)^ {2n}, 其中 B_n 是一些特定的正有理数，称为 伯努利数。 伯努利数 B_n= (-1)^ {n-1}\beta_ {2n} ,而数列 \beta_i 满足如下递推公式： \binom {n+1} {1}\beta_n+\binom {n+1} {2}\beta_ {n-1}+\ldots+\binom {n+1} {n}\beta_1+1=0, \forall n. 我们列举一些 \zeta 函数的偶数值：

2020年1月25日 · The value of the Riemann-Zeta function at -1, for example, diverges in the partial sums. However, we can atribute the value -1/12 to it. The function value at 1 should be no different: it is also a divergent series; so what's the atributed value to it?

ζ函数的第一积分表达式重要的事，要重复 \small n 遍 o(*￣ ￣*)ブ其中 \small\zeta(s) 为ζ函数，其定义为 \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\\ Γ函数定义为 \Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt\…

黎曼猜想的核心在于一个复变量函数—— 黎曼ζ函数 （Riemann zeta function），定义为： \zeta (s) = \sum_ {n=1}^ {\infty} \frac {1} {n^s} \\ 其中 s 是一个复数。 当 s 的实部大于1时，该级数收敛。 黎曼通过解析延拓的方法将此函数扩展到了整个复平面上，除了在 s=1 处有一个简单极点外，整个复平面上都是解析的。 黎曼ζ函数的零点分为两类：平凡零点和非平凡零点。 平凡零点位于负偶数处，即 s=-2, -4, -6, \ldots 。 而非平凡零点则更为复杂，它们出现在复平面的其他位置，并且 …