In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola.

参数t不是圆角而是 双曲角，它表示在x轴和连接原点和 双曲线 上的点 (cosht,sinht)的直线之间的面积的两倍。 在18世纪， 约翰·海因里希·兰伯特 引入双曲函数，并计算了 双曲几何 中双曲三角形的面积。 自然对数 函数是在直角双曲线 下定义 的，可构造双曲线 直角三角形， 底边 在线 y=x上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。 这里以 自然对数 即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数 指数函数，即要形成指定 双曲角 u，在 渐近线 即x或y轴上需要有的x或y的值 [1] …

\color {blue} {\textbf {双曲函数的定义}} 1、 双曲正弦. \sinh x = \frac {e^ {x} - e^ {-x}} {2} \\ 2、 双曲余弦. \cosh x = \frac {e^ {x} + e^ {-x}} {2} \\ 3、 双曲正切. \sinh x =\frac {\sinh} {\cosh} = \frac {e^ {x} - e^ {-x}} {e^ {x} + e^ {-x}} \\ 4、 双曲余切. \coth x = \frac {\cosh x} {\sinh x} =\frac {e^ {x} + e^ {-x}} {e^ {x} - e^ {-x}} \\ 5、 双曲正割.

$\text{cosh}\ 2x = \text{cosh}^2x + \text{sinh}^2x= 2 \text{cosh}^2x - 1 = 1 + 2 \text{sinh}^2x$ $\text{tanh}\ 2x = \frac{2\text{tanh}\ x}{1 + \text{tanh}^2x}$ Half angle formulas

三角函数有反三角函数，就是三角函数的逆函数，双曲函数也有，下面是sinh、cosh、tanh的反函数图像： 并且我们是可以求出各个反双曲函数的对数表示式的：

参数 t 不是圆 角 而是 双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点（ , ）的直线之间的面积的两倍。 在 直角雙曲線 （方程 ）下，雙曲線三角形（黃色），和對應於 雙曲角 u 的 雙曲線扇形 （紅色）。 這個三角形的邊分別是 雙曲函數 中 和 的 倍。 在18世紀， 約翰·海因里希·蘭伯特 引入雙曲函數 [2]，並計算了 雙曲幾何 中 雙曲三角形 的面積 [3]。 自然對數 函數是在 直角雙曲線 下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線 上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。 這 …

双曲余弦函数记作cosh，也可简写为ch。 从原点发出的射线与单位双曲线（方程：）相交于点（cosh a,sinh a)。 这里的a为射线、双曲线和x轴围成的面积的两倍。 对于双曲线上位于x轴下方的点，这个面积被认为是负值。 其中，cosh a就是a的双曲余弦函数。 经过复杂的计算可以推出： 。 双曲余弦函数的定义域为 。 [1]值域为 [1, )。 当x=0时，取到最小值1。 双曲余弦函数在定义域内是偶函数。 [1]可以证明。 取x的负值。 又得： 根据加法交换律，可得出 。 根据偶函数的定 …

The two basic hyperbolic functions are "sinh" and "cosh": Hyperbolic Sine: sinh(x) = e x − e-x 2 (pronounced "shine") Hyperbolic Cosine: cosh(x) = e x + e-x 2 (pronounced "cosh") They use the natural exponential function e x. And are not the same as sin(x) and cos(x), but a little bit similar: sinh vs sin. cosh vs cos. Catenary

参数 t 是双曲角,它表示由原点到双曲线上的点的矢径与 x 轴的夹角（弧度）,主值区间为 （-π/4,π/4）,其绝对值等于双曲扇形面积 S(比单位面积 ab=a∧2=1∧2) 的两倍。

2024年6月5日 · 在 数学 中， 双曲余弦 是一种 双曲函数，是 双曲几何 中，与欧几里得几何的 余弦函数 相对应的函数。 双曲余弦一般以cosh表示 [1]，在部分较旧的文献中有时会以 表示。 [2] 双曲余弦可以用来描述 悬链线，即两端固定自然下垂的绳索，因此可以用于进行 悬索桥 的工程计算。 双曲余弦一般记为 [3] （有时会简写为 [4]），其在 复分析 中定义为： 其中 是 复变指数函数 （日语：複素指数函数）。 由于已知的技术原因，图表暂时不可用。 带来不便，我们深表歉意。 …