In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola.

三角函数有反三角函数，就是三角函数的逆函数，双曲函数也有，下面是sinh、cosh、tanh的反函数图像： 并且我们是可以求出各个反双曲函数的对数表示式的：

在 数学 中， 双曲函数 是一类与常见的 三角函数 （也叫圆函数）类似的函数。 最基本的双曲函数是 雙曲正弦 函数 和 雙曲餘弦 函数 ，从它们可以导出 双曲正切 函数 等，其推导也类似于三角函数的推导。 双曲函数的反函数称为 反双曲函数。 双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做 双曲角。 双曲函数出现于某些重要的线性 微分方程 的解中，譬如說定义 悬链线 和 拉普拉斯方程。 最簡單的幾種雙曲函數為 [1]： {\displaystyle \tanh x= {\frac {\sinh x} {\cosh x}}= {\frac {e^ {x} …

$\tanh \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1}}$ [+ if x > 0, - if x . 0] $=\frac{\text{sinh}(x)}{1 + \text{cosh}(x)} = \frac{\text{cosh}(x) - 1}{\text{sinh}(x)}$ Multiple angle formulas $\sinh 3x = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x$ $\cosh 3x = 4 \cosh^3 x - 3 \cosh x$ $\tanh 3x = \frac{3 \tanh x + \tanh^3 x}{1 + 3 \tanh^2x}$

\cosh ^ {2} x - \sinh ^ {2} = 1 \qquad \qquad \sin (-x) = -\sinh \\\cosh (-x) = \cosh x \qquad \qquad \tanh (-x) = -\tanh x \\\cosh x + \sinh x = e^ {x} \qquad \qquad \cosh - \sinh x = e^ {-x} \\2 \sinh ^ {2} (x/2) = \cosh x -1 \qquad \qquad 2 \cosh ^ {2} (x/2) = \cosh +1 \\\tanh^ {2} x+ \text {sech}^ {2} x =1 \qquad \qquad \coth ^ {2} - \text {...

最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，从它们可以导出双曲正切函数tanh等，其推导也类似于三角函数的推导。 双曲函数的反函数称为反双曲函数。

基本知识： \cosh x=\frac {e^x+e^ {-x}}2,\sinh x=\frac {e^x-e^ {-x}}2,\tanh x=\frac {e^x-e^ {-x}} {e^x+e^ {-x}} \displaystyle {\rm arsinh } \ x=\ln (x+\sqrt {x^2+1}), {\rm arcosh } \ x=\ln (x+\sqrt {x^2-1}), {\rm a…

sinh 、 cosh 和 tanh （就是双曲正弦、双曲余弦和双曲正切） sinh x = e x − e −x 2. cosh x = e x + e −x 2. tanh x = sinh x cosh x = e x − e −x e x + e −x. 导数. 这些函数的导数是： d dx sinh x = cosh x. d dx cosh x = sinh x. d dx tanh x = 1 − tanh 2 x

12 小时之前 · 深入分析Tanh激活函数：数学特性、应用与洞见. 在深度学习领域，激活函数的选择对神经网络的性能有着深远的影响。双曲正切函数（tanh）作为一种经典的非线性激活函数，因其独特的数学性质和对梯度传播的支持，在神经网络设计中占据重要地位。

The two basic hyperbolic functions are "sinh" and "cosh": Hyperbolic Sine: sinh(x) = e x − e-x 2 (pronounced "shine") Hyperbolic Cosine: cosh(x) = e x + e-x 2 (pronounced "cosh") They use the natural exponential function e x. And are not the same as sin(x) and cos(x), but a little bit similar: sinh vs sin. cosh vs cos. Catenary