在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sinh 和双曲余弦函数 cosh，从它们可以导出双曲正切函数 tanh 等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。

在直角雙曲線（方程 = ）下，雙曲線三角形（黃色），和對應於雙曲角u的雙曲線扇形（紅色）。 這個三角形的邊分別是 雙曲函數 中 cosh {\displaystyle \cosh } 和 sinh {\displaystyle \sinh } 的 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 倍。

$\text{cosh}^4 x = \frac{3}{8} + \frac12 \text{cosh}\ 2x + \frac18 \text{cosh}\ 4x$ Sum, difference and product $\text{sinh}\ x + \text{sinh}\ y = 2 \text{sinh}\ \frac12(x + y)\ \text{cosh}\ \frac12(x - y)$

三角函数有反三角函数，就是三角函数的逆函数，双曲函数也有，下面是sinh、cosh、tanh的反函数图像： 并且我们是可以求出各个反双曲函数的对数表示式的：

\sinh^{-1} x \pm \sinh^{-x} y = \sinh^{-1} \left( \sinh^{-1}x \sqrt{1+y^2} \pm y \sqrt{1 +x^2} \right) \\ \cosh ^{-1} x \pm \cosh ^{-1} y = \cosh^{-1} \left[ xy \pm \sqrt{ (x^2 -1) (y^2 -1) } \right] \\ \tanh ^{ …

函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。 函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。 y=sinh x，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，函数图像关于原点对称。 [1] y=cosh x，定义域：R，值域： [1,+∞)，偶函数，函数图像是 悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，函数图像关于y轴对称。 y=tanh x，定义域：R，值域： (-1,1)，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格 …

2024年7月4日 · cosh函数的积分可以用于计算曲线y = cosh (x)在x轴和两条竖直线x = a和x = b之间的面积。 该面积可以用以下公式计算： 该代码使用Sympy库计算了曲线y = cosh (x)在x轴和两条竖直线x = a和x = b之间的面积。 Sympy的integrate ()函数用于计算积分。 cosh函数在求解一阶微分方程中具有重要作用。 考虑以下一阶微分方程： 其中 a 和 b 为常数。 然后，使用积分因子法求解该方程。 积分因子为： 其中 C 为积分常数。 cosh函数在求解二阶微分方程中也有应用。 考 …

双曲余弦函数记作cosh，也可简写为ch。 从原点发出的射线与单位双曲线（方程：）相交于点（cosh a,sinh a)。 这里的a为射线、双曲线和x轴围成的面积的两倍。 对于双曲线上位于x轴下方的点，这个面积被认为是负值。 其中，cosh a就是a的双曲余弦函数。 经过复杂的计算可以推出： 。 双曲余弦函数的定义域为 。 [1] 值域为 [1, )。 当x=0时，取到最小值1。 双曲余弦函数在定义域内是偶函数。 [1] 可以证明。 取x的负值。 又得： 根据加法交换律，可得出 。 根据偶函数的定 …

在 數學 中， 雙曲餘弦 是一種 雙曲函數，是 雙曲幾何 中，與歐幾里得幾何的 餘弦函數 相對應的函數。 雙曲餘弦一般以cosh表示 [1]，在部分較舊的文獻中有時會以 表示。 [2] 雙曲餘弦可以用來描述 悬链线，即兩端固定自然下垂的繩索，因此可以用於進行 悬索桥 的工程計算。 雙曲餘弦一般記為 [3] （有時會簡寫為 [4]），其在 複分析 中定義為： 其中 是 複變指數函數 （日语：複素指数函数）。 由于已知的技术原因，图表暂时不可用。 带来不便，我们深表歉意。 綠色線為雙曲 …

2024年11月6日 · cosh (x)定义为 (e^x + e^ (-x))/2，其中e是自然对数的底数，约等于2.71828。 从这个定义可以看出，cosh函数是一个偶函数，即cosh (-x) = cosh (x)。 接下来，我们探讨cosh函数的计算方法。 最直接的方法是根据其定义进行计算，即先计算e^x和e^ (-x)，然后将两者相加后除以2。 然而，这种方法在x较大或较小时，可能会遇到数值计算上的困难。 为此，我们可以利用一些近似公式来简化计算。 例如，当x非常大时，cosh (x)可以近似为e^x/2；当x非常小 …