Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas. o(x2n) (et même o(x2n+1) et même x→0 2 (2n)! x→0 (2k)! x→0 6 (2n + 1)! nX (2k x→0 k=0 + 1)! n! Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.

Ce chapitre aborde les développements limités de fonctions, qui permettent d’exprimer n’importe quelle fonction avec des polynômes. On peut ainsi approcher une fonction quelconque avec des polynômes, qui ont l’avantage de se calculer facilement.

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Déterminer les développements limités des fonctions suivantes : 1. 1 1 + x + x2 à l'ordre 4 en 0 2. tan(x) à l'ordre 5 en 0 3. sinx − 1 cosx + 1 à l'ordre 2 en 0 4. ln(1 + x) sinx à l'ordre 3 en 0.

Formule de Taylor-Young (existence) : Si f est de classe Cn, alors f admet un développement limité à l'ordre n en tout point a ∈ I donné par f(a + h) = f(a) + f ′ (a)h + ⋯ + f (n) (a) n! hn + o(hn). Démonstration en vidéo!

Pour calculer un développement limité (DL) d'ordre n n d'une fonction f(x) f (x) au voisinage d'une valeur a a, si la fonction est dérivable en a a, alors il est possible d'utiliser la formule de Taylor-Young qui décompose toute fonction en :

L’unicité du DL et la formule de Taylor-Young prouve que si l’on connaît le DL et que f est de classe C n alors on peut calculer les nombres dérivés à partir de la partie polynomiale par la formule ck f. Cependant dans la. = k! majorité des cas …

Les développements limités sont l'outil majeur, en mathématiques, pour l'étude locale : limite de fonctions, recherche d'asymptotes, étude de la convergence de séries.

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Si f et gadmettent un DL au point a, on peut obtenir un DL de f g en factorisant le DL de gau dénominateur par son terme prépondérant, pour écrire : f(x) g(x) = 1 TP DL1 1+::::: = 1 TP (DL1) 1 1+:::: On peut alors utiliser le DL de 1 1+:::: lorsque ::::tend vers …