沃尔什变换其核心思想是先对序列 a,b 做一遍正变换，假设对其做正变换后得到的序列为 \mathrm{FWT}(a) 和 \mathrm{FWT}(b) ，然后对两个得到的新序列进行一定操作得到 \mathrm{FMT}(c) ，然后对 \mathrm{FWT}(c) 做一遍逆变换即可。

在算法竞赛中，fwt 是用于解决对下标进行位运算卷积问题的方法。 公式： （其中 是二元位运算中的某一种） 下面我们举 （按位或）、 （按位与）和 （按位异或）为例。 fwt 的运算 或运算

2018年5月21日 · 对于一个多项式 \(a\) 的 \(fwt(a)\) ，它一定只是若干个原多项式中的若干项的若干倍的和。 即 \(fwt(a)\) 一定不包含原多项式的某几项的乘积。 如果包含了原多项式的乘积，那么在求出卷积之后， 我们发现此时的结果与某个多项式自身的某两项的乘积有关

这种变换就是快速沃尔什变换（FWT），即 FWT(a) = A 。我们称正向（ a \rightarrow A ，系数变点值）的过程为 FWT，逆向（ A \rightarrow a ，点值变系数）为 IFWT。（也有叫 DWT 和 IDWT 的，但惯用 FWT 了，能看懂就行 qwq）

2020年4月27日 · FWT (快速沃尔什变换)详解 以及 K进制FWT. 约定： \(F'=FWT(F)\) 卷积的问题，事实上就是要构造 \(F'G'=(FG)'\) 我们常见的卷积，是二进制位上的or ,and ,xor. 但正式来说，是集合幂指数 上的 并 ， 交 ， 对称差. 为了说人话，这里就不带入集合幂指数的概念了

2024年12月19日 · 【fwt】 fwt，快速沃尔什变换，用于解决异或卷积问题。问题定义类似。 同样地，我们要找一个变换 t，同样满足上面的性质。 而一样很牛的事实是，这样的变换也存在，叫做 dwt 和 idwt。

2021年8月20日 · FWT，即 Fast Walsh–Hadamard Transform，快速沃尔什变换。 在 OI 中一般被用来处理位运算卷积问题。 设 a = (a0,a1,⋯,an−1)T 是一个序列，考虑一个线性变换 P，记这个线性变换在标准正交基 ϵ1,ϵ2,⋯,ϵn 下的矩阵为 P， a 在 P 的作用下得到的新的序列为 \hat\mathbf a= (\hat a_0,\hat a_1,\cdots,\hat a_ {n-1})^ {\text {T}}，i.e. \hat \mathbf a=\mathbf P\mathbf a。 现在定义两个序列的位运算卷积. 其中 ⊕ 代表某种位运算。 我们希望构造这样的 可逆 线性变换 …

定义： F W T ( A ) [ i ] = ∑ j ∣ i A [ j ] FWT (A) [i]=\sum_ {j|i} A [j] FWT(A)[i]=∑j∣iA[j]。 这个是正变换后得到的数组的意义，简单来说，就是下标的子集对应的位置之和，其中 j ∣ i j|i j∣i 表示 j j j 是 i i i 的子集。 那么有一个很显然的性质： 证明： 我们拿每一位单独看： 嗯……很显然可以得到 F W T ( A ) [ i ] + F W T ( B ) [ i ] = F W T ( A + B ) [ i ] FWT (A) [i]+FWT (B) [i]=FWT (A+B) [i] FWT(A)[i]+FWT(B)[i]=FWT(A+B)[i]。

下面就展开来讲快速Walsh变换FWT。 本文采用线性变换和卷积的角度来叙述，当然还有其他的角度，比如位运算运算，max卷积等，这里不进行展开。 可以看洛谷的题解 https://www. luogu.com.cn/problem/so lution/P4717

2018年7月28日 · FWT是一种快速完成集合卷积运算的算法。 它可以用于求解类似 $C [i]=\sum\limits_ {j⊗k=i}A [j]*B [k]$ 的问题。 其中⊗代表位运算中的|，&，^的其中一种。 设F（A）是对于A的一种变换。 并且F（A）要求满足： $F (A)*F (B)=F (A⊗B)$ ①. $k*F (A)=F (k*A)$ ②. $F (A+B)=F (A)+F (B)$ ③ （A,B长度相同） 鉴于FWT和FFT长得特别像（而且求解的问题也比较类似），我们可以借鉴一下FFT的思路，采用分治的想法。 首先先把多项式的长度 …