Learn Letters and Phonics FGHIJ | English Alphabet ABCD Song | Nursery Rhymes Songs With LyricsKids are always learning even when they are playing so put tho...

FGH 是 快速增长函数阶级 的缩写，用于估算增长快速的函数。 FGH 的计算方式如下： 1.f_0 (x)=x+1\\ 2.f_ {\alpha+1} (n)=\begin {matrix} \underbrace {f_ {\alpha} (f_ {\alpha} (f_ {\alpha} (...f_ {\alpha} (n)...)))} \\ n\end {matrix}=f_ {\alpha}^ {n} (n)\\ 3.f_\alpha (x)=f_ {\alpha [x]} (x) (\alpha 是极限序数) [1] ...... 为什么？

2023年10月29日 · FGH下的增长率对函数的增长速度影响是最大的，所以被称为快速增长层级，F表示的是Fast。 SGH是慢速增长层级的缩写，S表示的是Slow。 慢速增长层级的规则是这样的，为了与FGH的f区分，我这里用g来表示函数，g的下标表示函数对应的SGH下的增长率。 g₀ (n)=0， g₋ (α+1) (n)=g₋α (n)+1。 也就是说，常函数g (n)=0的SGH增长率为0，函数值每加一，其SGH增长率就加一。 在此规则下，我们有一次函数g (n)=n的SGH增长率为ω，二次函数g …

即 葛立恒数列 G (n)=\left\ {\array {3\uparrow^ {G (n-1)}3&n>0\\4&n=0}\right. 的FGH增长率约为 \omega+1 。 定义 F_0 (n)=n+1 ，这里的下角标即为常说的FGH增长率。 且 F_ {a+1} (n)=F_a (F_a (\cdots F_a (n)\cdots))\ (n\ {\rm times}) 。 特别地， F_\omega (n)=F_ {\omega [n]} (n) ，底数为超限序数时要由内到外逐层代入，不能直…

不妨设 f(n),g(n) 的FGH增长率分别为 \alpha,\beta ，现在我们要求的便是 F(n)=f^{g(n)}(n) 的增长率。 可以注意到，对于所有 \beta\geq0 ，都有 g(n)\sim f_\beta(n)\geq^\circ f_0(n)=n+1>^\circ n ，因此 F(n)>^\circ f^n(n)\sim f_{\alpha+1}(n) ；

增长率是靠FGH定义的，FGH是"Fast-growing hierarchy"的简称，翻译过来就是“快速增长函数层级”。 函数层级本质上是“将小于某个限度的每个序数都配上一个函数”，还有一种等价的说法，“将一个函数集合进行不重不漏的排序”。

x!x是 高德纳箭头 的增长率，为ω. x↓1= ( (… (x!x)!x…)!x)!x是一个败笔，这直接导致了x↓1的增长率仍为ω，应改为x↓1=x! (x! (…x! (x!x)))，此时增长率为ω+1， 葛立恒数 只有64↓1。 不过这并不影响后面的分析。 x↓2~ω+1. x↓3~ω+2. A (x) ~ω×2. A' (x)~ω×2+1. A'' (x)~ω×2+2. B (x) ~ω×3. 后面的结构不好分析，与其搞这一堆复杂的结构，还不如简单粗暴的B' (x)=B (B (…B (x))，增长率也不一定有多大提升. 最后盲猜C (x)~ω×4. x为正整数x！ …

2023年12月7日 · 与FGH的形式类似，我们严格定义基本列（fundamental sequence）如下（Wainer Hierarchy）： 一切伟大的行动和思想,都有一个微不足道的开始。 There is a negligible beginning in all great action and thought. 虽然是英文但是讲的不错，稍微翻译一下罢（虽然已经有挺多人写过这个了） 网站 说起来发明FGH这个标尺的确实是神，简洁明了 前置知识 超运算 这倒是非常自然的想法 若将加法看作第一级运算，乘法看作第二级运算，乘方看作第三级运算， …

如果我们要比较一个函数究竟能表示出多大的数，我们需要通过一个方式比较。 而我们知道，我们可以通过 FGH 的方式比较，基本表示方法如下： f_n 中的 n 是增长率，而 f_k (n) 是一个增长率为 k 的函数。 而，我们的增长率满足以下规则： f_0 (n)=n+1 ，相当于 n 的后继数。 f_k (n)=f_ {k-1}^ {n} (n) ，这里的结果 n 不表示 f_ {k-1} (n)^n ，而是 f_ {k-1} (f_ {k-1} (...f_ {k-1} (n)...)) ，一共 n 个 f_ {k-1} ，这里的 n 是迭代次数的意思。

2023年8月14日 · 快速增长层级(fgh)就是这样的一种东西，它用序数去描述那些大数函数的增长率。 其实除了FGH之外，还有慢速增长层级(SGH)，中速增长层级(MGH)，哈代(HH)，感兴趣的可以自行了解，我这里就不多赘诉了。

2024年4月1日 · FGH，即“快速增长函数阶级”的缩写，是数学领域中用于衡量那些增长速度极快的函数的工具。 它的核心在于理解基本运算及其估算方法。 运算与估算基础. FGH的基本运算遵循简单但富有深意的规则： FGH (f (n)) ≈ f^ω (n)，这里的 ω 代表序数，代表运算等级。 比如： 而对于 f (n) = 2^n，则估算为 FGH (f (n)) ≈ ω^ω，因为其增长率超过了所有常数级增长。 当遇到多个相同变量时，如 f (n) = n^n，通常会简化为变量与常数形式，如 FGH (f (n)) ≈ ω^n。 超越基本运 …

2023年4月24日 · 指数和阶乘就是这一级别，宇宙中的各种天文数字，各种大的数词单位，乃至于围棋排列组合等等，全在这一档。 能用现实事物想象的爆炸式增长都在这一档。 ②3。 冲过第一关的人，又有一大堆人只会最简单幼稚的套娃，比如无脑堆指数塔，就停留在这里。 ③ω。 只要达到了4，说明已经初步学会了常数个箭头那种逐个套娃的方法，后面的自然数级别只是数量问题了。 第一个 极限序数 ω是大数启蒙后的首个卡点。 从ω到ω+1意味着要把 箭头个数 作为整体 …

若函数p (x)和f (g,H) α (x)有相近的增长率，我们称p (x)的FGH (SGH,HH)增长率是α，记为p (x)~α. 例：葛立恒函数g (x)~ω+1（FGH），g (x)~ω ω+1 （HH） 先从序数说起: ω是一个数列, (1,2,3,...) 然后又有ω+1,ω+2,ω+3,ω+4,... ω2又是一个数列, (ω+1,ω+2,ω+3,...) ...... ω 2 = (ω,ω2,ω3,...) ω 3 = (ω 2,ω 2 2,ω 2 3,......) ...... ω ω = (ω,ω 2,ω 3,.....) 然后又有ω ωω... ε 0 = (ω,ω ω,ω ωω,...) ε 1 = (ε 0 +1,ω ε0+1,ω ωε0+1,...)

2022年12月13日 · FGH（快速增长层级）是最经常用的标尺。它的规则如下： f_0(n)=n+1. f_{k+1}(n)=f_k^n(n) 然而，仅仅用自然数不够。我们可以造出一个函数 f_n(n) 比所有自然常数下标增长得都快。 这时就要引入无穷序数。 \omega 是最小的无穷序数，它的意义能推导出比所有自然 …

x+y, x-y, x*y, x/y, x^y; x^^y, x^^^y, etc. for hyperoperators; x{n}y also works for hyperoperators; x! for factorials; FGH: f_n(x). n can be any number, 'w', or 'w+1'. Functions: log10(x) for log base 10; ln(x) for natural log; ackermann(x) for the 1-input Ackermann function; approximateFGH(x) to get the approximate FGH equivalent of a number

在上一节结尾引入了 FGH 的概念，这是用来表示 增长率层级 的一套函数。不过，光是嘴说也并不能知道它到底是如何表述的，所以我们来具体进行一些分析。 先从第一条定义开始： f_0(x)=x+1 。那么，有 f_0^2(x)=f_0(f_0(x))=f_0(x+1)=x+2 ， f_0^3(x)=f_0(f_0^2(x))=f_0(x+2)=x+3 ……

2023年10月15日 · FGH的增长率完全依赖于基本列的选取方式，给α下的极限序数选取某一个标准基本列体系后，所有增长率低于fα(x)的函数都必然介于fk(x)和fk+1(x)之间，其中k<α。

2023年10月16日 · 现在，我们就可以定义FGH（fast growing hierarchy，快速增长层级）： 对于任意的序数 \alpha， f_ {S (\alpha)} (n)=f_\alpha^n (n) ，其中上标 n 表示重复 n 次。 这样的定义了 0 的情况，定义了后继序数和极限序数的情况被称为 超限递归定义，我们此后会经常看到它。 此外，我们发现规则3就是上文中提到的对角化，上文提到的 F 实际上可以理解为某一个定义下的 f_\omega 。 我们可以试着去计算一下 f_\alpha 。 f_0 (n)=n+1. f_1 (n)=2n. f_2 (n)=2^n n …

Free math problem solver answers your algebra, geometry, trigonometry, calculus, and statistics homework questions with step-by-step explanations, just like a math tutor.

若有两个一元函数 f (x) 和 g (x)， 我们可以把 g 的函数值作为 f 的自变量， 得到一个新的函数称为 f (x) 和 g (x) 的 复合函数， 记为 f [g (x)] ．. 如果我们已知两个函数 f (x) 和 g (x) 的导函数 f' (x) 和 g' (x)， 那么我们可以通过以下公式求复合函数 f [g (x)] 的 导数 ．. 我们已经知道基本初等函数的导数的导函数， 下面对它们的一些常见的复合函数进行求导．. 为了方便表示，我们把 g 的函数值和 f 的自变量记为 u， 把 f 的函数值记为 y ．. 图 1：可以将 \sin^2 x 看做 f (u) = u^2 和 g (x) = \sin …