李群里面有两个很重要的群，分别是 SU (2) 群和 SO (3) 群，这两个是最简单的非平庸非阿贝尔李群。 这两个群在经典力学和量子力学中都有着至关重要的意义，量子力学中的电子自旋和经典力学中的刚体转动都可以用这两个群描述。 而且 SU (2) 群和 SO (3) 群之间还有着密切的关系。 这里总结一下如何从 SU (2) 群导出 SO (3) 群。 首先给出群同态的定义：给定两个群 (G, *), (H, \cdot) ，群同态是一个映射 h: (G, *) \rightarrow (H, \cdot) ，使得对于所有属于群 G 的元素 u, v ，都 …

其实 \ [\text {SO}\left ( 3 \right)\] 比 \ [\text {SU}\left ( 2 \right)\] 要直观, 直接就是看得见摸得着的玩意儿, 所以也没有 \ [\text {SU}\left ( 2 \right)\] 那么酷. 我们可以将 \ [\text {SO}\left ( 3 \right)\] 群定义为全体三维空间的 顺时针 [1] 转动任意角度的操作的集合.

intricate relationship with SO(3). Historically, physicists needed to master the mathematics of SU(2) before moving to SU(3) and beyond. Thus, just as when studying SO(N) we generally begin with SO(3), it's instructive to begin studying SU(N) by considering the speci c case of SU(2), whi.

直觉上， SU (2) 和 SO (3) 的关系就像 U (1) 和 SO (2) 一样自然，但遗憾的是，实际上并不是这样的. 我们在二维旋转的情形中，用复数 e^ {i\varphi} 表示了相同的旋转 R_\theta ，并且指出了 \varphi=\theta . 但在三维旋转的情形中，它们就不相等了. 这就是为什么我在前文中强调了 \varphi 和 \theta 是两个不同的参数. 为了说明 SU (2) 和 SO (3) 的关系，我们用一个具体的例子来说明：

They are the analogy of vectors in three dimensional rotation group (SO(3)): = 1, 2. Theorem (Cornwell 1984): “There exists a two-to-one homomorphic mapping of the group SU (2) onto the group SO(3). If A 2 SU (2) maps onto R(A) 2 SO(3), then R(A) = …

SU(2) is isomorphic to unit quaternions. In this this article you can find a way to represent every quaternion with a rotation of R3, namely an element of SO(3), and for every rotation of R3 there's a quaternion that represents it.

2021年11月22日 · 在考虑空间坐标转动的时候，不可避免的遇到了欧拉转动的问题，借着这个机会整理一下SO (3)群和SU (2)之间的关系。 对于三维空间中的转动操作，可以利用欧拉转动操作来实现，这里转动按照右手系为参照，首先选定一个直角坐标 O − xyz 固定不动，另外有一个直角坐标系初始时与 O − xyz 重合，首先绕 z 周转动 α 角，可转动的坐标系为 O − x ‘ y ‘ z ‘，再绕着 y ‘ 轴转动 β 角，坐标系为 O − x ‘ ‘ y ‘ ‘ z ‘ ′，最后再绕着 z ‘ ′ 轴转动 γ 角，最终转动的坐标系可以 …

Lie Algebra of SU2 The space Ri+Rj+Rk mapped onto SU(2) by the exponential function is the tangent space at 1 of SU(2), just as the line Ri is the tangent line at 1 of the circle SO(2). The three-dimensional space Ri+Rj+Rk is the tangent space of …

2020年5月13日 · Yes, they are isomorphic, see here (answer by Community): ϕ:su(2) so(3) ϕ: s u (2) s o (3) is an Lie algebra isomorphism. The three matrices you exhibit do not span the Lie algebra of SU(2) S U (2). The conditions defining a matrix A A in su(2) s u (2) are that A¯t + A = 0 A ¯ t + A = 0 and trA = 0 t r A = 0, so a basis is given by.

因此 SU (2) 和 SO (3) 矩阵的元素之间没有一一对应，而是两个 SU (2) 对应着一个 SO (3) 。 由上节可知复变换群会使 |u|^2+|v|^2 不变， \begin {equation} \begin {aligned} &u^ {\prime}=a_ {11} u+a_ {12} v\\ &v^ {\prime}=a_ {21} u+a_ {22} v \end {aligned} \end {equation} 并形成 U (2) 群，变 …